诸天从人世间开始不留遗憾

痴人道梦

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第六章 省赛

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中考成绩公布的第二天早上。

王光羲、赵红梅二人便与何闻君一起向着无锡高铁站出发了。

今天他们两人要陪着何闻君一起去参加省赛。

苏城省会并不远,一小时后便至金陵

上午十点准时开始了第一场竞赛考试,全省参加竞赛的学员都在现场,大概一百三十人左右,分配下来每个市的名额也就是十个。

而省赛的出围标准则是取前五名,竞争可谓是异常激烈,特别是对于他们苏省这种教育大省来说,赛制有点不合理,但是何闻君今天也不是来讨论赛制的,不用想太多,拿第一就好,更何况他本身就是冲着国际比赛的金牌去的,如果省赛都不能拿第一后面不提也罢。

卷子发下来后何闻君先把个人信息填好,接着也不挑什么难题简单题,就从第一题开始做,基本上都不怎么用到草稿纸,大概半个小时便把一张六面的卷子做完了,接着又花了十分钟检查了一遍,确认没问题了,一眼看去就是满分试卷了,何闻君就放心的趴在桌子上发起了呆。

主要是不发呆他也没事干!上午考的是几何与数论,考试全程三个小时,考试开始两个小时后才可以提前交卷。

且交卷后也不能离场,只能待在特定的房间等待考试结束,房间有专人监视,他就是提前交卷也没事做,反而像个为了出风头而强行装逼的傻子,还不如就这么老老实实的坐一会,十分钟后何闻君没抗住睡着了。

.....正梦到小关同学的某人被敲击桌子声惊醒了。

“喂,同学!交卷了,就你是最后一个收的!”

被打扰好事的何闻君抬头看着收卷老师迅速回神,撇开草稿纸上的口水,把竞赛试卷跟草稿纸一起交给了收卷老师。(奥赛草稿纸也是要交的,我小时候参加的时候是这样的。)

“不是你压到试卷了我都不好意思叫醒你,睡的是真特么香!隔了几层草稿纸,试卷都快被你的口水弄湿了,啧啧,你还真是我见到的第一个。”收卷老师佩服的说道。

何闻君没搭理他,揉了揉被压得满面通红的脸向着考场外走去。

看到何闻君这么晚才走出考场,李老头还有点担心的问道

“闻君,上午的试卷很难么,你怎么出来的这么晚?”

何闻君自信的说道

“放心吧,等分数出来了你们就知道了,咱们去吃饭吧,我都饿了。”

等何闻君到了,无锡市的竞赛生也都到齐了,大家便一同结伴去找地方吃饭去了。

阅卷室内,几个收卷老师都拿着厚厚一沓试卷走了进来。

因为何闻君睡着了,负责他的收卷老师是最后一个才收到他的试卷,摆在了一沓试卷的最上面,十分显眼。

苏省奥数竞赛负责人,金陵数学院院长李知州,看到何闻君占着口水印记的空白草稿纸,不由得直皱眉头,开口道

“小方,你手上的试卷给我,我来改这一摞。”

.....

李知州接过奥赛试卷后,一脸嫌弃的先把何闻君的草稿纸丢到一边,认认真真的检查起来。

十分钟后李知州的脸色便由满脸严肃变为一脸疑惑,疑惑于这个叫何闻君的同学为什么草稿都不用做,答案却都做对了?

又十分钟李知州终于翻到了反面的论证题。

看了一会李知州的眼睛不由得瞪的浑圆,原来是何闻君不仅把后面几道超纲大题做出来了,还把他出的压轴题做对了,而且还是用了一种他们所有人都没想到的计算方法,看起来比他这个出题人的论证过程还要更加简洁。

压轴题是李知州亲自出的一道数论题,这道数论题的难度极高!

他出出来了就没打算让这些学生做对。

而何闻君呢?

他用了一种非常漂亮且精彩独到的方法把这道题解开了,李知州觉得他做出答案的过程比答案更精彩。

——

设正整数a, b满足ab+1可以整除a2+b2,证明(a2+b2)/(ab+1)是某个整数的平方。

例如代入a = 1,b = 1,我们得到 k =(12+12)/(1x1+1)= 1,显然这是一个平方数。

请论证出来

下面是何闻君的论证过程

ab+1可以整除a2+b2,所以(a2+b2)/(ab+1)是正整数。设有正整数a及b满足(a2+b2)/(ab+1)=k,其中k不是平方数,我们将制造出一个矛盾去证明这是不可能的,所以k必为平方数。

在众多组满足条件的正整数a、b中,必有一组的和是最小的,我们设它为a1与b1。由于把a1与b1互换,也不会影响(a12+ b12)/(a1b1 +1)的值,所以我们不妨假设a1>= b1。

将a1与b1代入上面的式子得到

a1是一元二次方程 x2 - kb1 x+(b12-k)= 0 的一个根,设方程的另一个根为a2。根据韦达定理,我们得到

由此进一步得到a2需要满足的条件,

根据(1),a2必为整数。

根据(2),a2不可能是0,因为k不是平方数,b12-k不可能是0。

k是正整数,b1是正整数,(a22+ b12)/(a2b1+1)= k,显然a2不可以是负数。

假设过 a1>= b1 吗?因此根据(2),a2必定小于a1。

我们有一小于a1的正整数a2,令(a22+ b12)/(a2b1 +1)= k,其中k不是平方数。a2与b1是满足(a2+b2)/(ab+1)=k(其中k不是平方数)的一组解,但它们的和比a1与b1小,“没有最小,只有更小”。不过我们之前已经假设了a1与b1的和是众多组解中最小的,这样就产生矛盾了。

因此如果正整数a, b满足ab+1可以整除a2+b2,(a2+b2)/(ab+1)必定是平方数!

——

“精彩!精彩啊!”李知州又看了一遍,情不自禁的高呼出声,引得阅卷室内的一众老师纷纷围了过来。

.....

“嘶!老李不是我说你,你这道题就是拿到国际赛上都能做压轴题了,你出在省赛?怎么样,被人做出来了,打脸了吧!哈哈哈哈。”一位年纪稍大的老人家嘲笑着李知州说道。

另一名阅卷老师插嘴道

“哈哈,是啊!要是这个何闻君能留在咱们金陵数学院就好了。”

说到此处便忍不住叹息一声接着道

“唉,等到了首都的全国大赛,清、北数院肯定不会放过这么好的苗子,咱们金陵数学院是没机会了。”

听闻此言,另一位阅卷老师冷笑道

“呵呵,你觉得以这位同学的实力进不了国际赛吗?咱们国家队在国际赛上本来就是强队,再加上今年的何闻君,他在国际赛上拿金牌也是正常操作,到时候这个何闻君还留不留在国内都不好说喽。”

李知州又扫了一眼试卷上方,左上角的身份信息惊呼道

“什么!他还是初中生!!”

众阅卷老师:“!!!”

收卷老师小方一脸懵逼,他记得这个学生好像就用了四十来分钟就把试卷做完了吧?接着就在那睡觉,全场也就只有他一个人在睡觉,小方老师映像很深。

“要不要跟院长说呢?”看着有些癫狂的众人,小方老师纠结了。

ps:多码了几百个字,不要觉得我用公式水字数哦,删了答案就不对了~

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