第 203 章 绝对值之妙理
数日又过，戴浩文再登讲堂，欲授学子以绝对值之概念。其容端肃，目光深邃，执一卷书，缓声道：“今日吾与汝等研讨绝对值之妙理，望尔等倾心聆听，用心领悟。”
言罢，于黑板之上书一数字，曰：“此数为负三，其绝对值为何？”
众学子面面相觑，稍作思索。一胆大之学子起身答曰：“先生，负三之绝对值为三。”
戴浩文微微点头，曰：“善。绝对值者，乃数于数轴之上距零之距离也。不论正负，其距零之距恒为正，此乃绝对值之要义。”
遂又书数“正五”，问曰：“此数之绝对值若何？”
众学子齐声应曰：“亦为五。”
戴浩文笑曰：“诚然。吾再举一例，若有一数为零，其绝对值又当如何？”
一聪慧学子抢答曰：“先生，零之绝对值即为零也。”
戴浩文抚掌赞曰：“妙哉！汝等已初窥门径。今思之，若有数负七，其绝对值之算式当如何书？”
学子们纷纷动笔，片刻后，一生答曰：“当书为| - 7 | = 7 。”
戴浩文曰：“善。吾再出一题，若知一数之绝对值为八，此数可为几何？”
堂下一时静谧，少顷，有学子言道：“先生，此数可为正八或负八。”
戴浩文曰：“极是。由此可见，知绝对值而求原数，当有两解，一正一负。”
又书一题：“若 | x - 2 | = 5 ，求 x 之值。”
众学子陷入沉思，纷纷推演计算。一学子起身道：“先生，若 x - 2 为正，则 x - 2 = 5 ，x 为 7 ；若 x - 2 为负，则 x - 2 = -5 ，x 为 -3 。”
戴浩文欣然曰：“善。再观此题，若 | 2x + 3 | = 7 ，又当如何求解？”
学子们分组讨论，各抒己见。须臾，有一组代表起身曰：“先生，若 2x + 3 为正，则 2x + 3 = 7 ，解得 x 为 2 ；若 2x + 3 为负，则 2x + 3 = -7 ，解得 x 为 -5 。”
戴浩文点头曰：“不错。绝对值之理，于方程求解中多有应用。今再思之，若 | x | ＜ 3 ，则 x 之取值范围若何？”
众学子苦思冥想，一学子曰：“先生，此意为 x 距零之距离小于三，故 x 大于负三而小于正三。”
戴浩文曰：“善。若 | x | ＞ 5 ，又当如何？”
一生应曰：“先生，此则为 x 小于负五或 x 大于正五。”
戴浩文曰：“妙极。吾再出一题稍难者。若 | 3x - 1 | ≤ 4 ，求 x 之范围。”
学子们奋笔疾书，演算良久。一学子上台板书其解：“若 3x - 1 为正，则 3x - 1 ≤ 4 ，解得 x ≤ 5 \/ 3 ；若 3x - 1 为负，则 3x - 1 ≥ -4 ，解得 x ≥ -1 。故 x 大于等于负一且小于等于五分之三。”
戴浩文微笑曰：“甚好。绝对值之概念，亦用于不等式之求解，需谨慎分析，莫出差错。”
又曰：“今有一数轴，点 A 对应之数为 x ，其绝对值为 2 ，点 b 对应之数为 y ，其绝对值为 3 ，且点 A 在点 b 之左，求 x 、 y 可能之值及 A 、 b 两点间距。”
众学子沉思片刻，纷纷作答。一学子言：“先生， x 可为正负 2 ， y 可为正负 3 。因点 A 在点 b 之左，故当 x 为 2 时， y 为 3 ，间距为 1 ；当 x 为 -2 时， y 为 3 ，间距为 5 ；当 x 为 2 时， y 为 -3 ，间距为 5 ；当 x 为 -2 时， y 为 -3 ，间距为 1 。”
戴浩文曰：“甚是详尽。绝对值之理，于数轴之上，可明数之位置与距离，颇有用处。”
继而再出一题：“若 | a + 1 | + | b - 2 | = 0 ，求 a 、 b 之值。”
众学子交头接耳，议论纷纷。一学子起身曰：“先生，绝对值皆为非负，二者之和为零，则 | a + 1 | = 0 且 | b - 2 | = 0 ，故 a 为 -1 ， b 为 2 。”
戴浩文抚须曰：“聪慧！此类题需明绝对值之非负性。”
时光渐逝，日已偏西，戴浩文曰：“今日所讲绝对值之概念，尔等当反复温习，多加思索。明日吾将再考汝等。”
众学子行礼而退，皆心有所思。
次日，戴浩文复至讲堂，先回顾昨日所学，而后又出数题。
“若 | x - 3 | + | x + 2 | = 7 ，求 x 之值。”
学子们静心思考，逐一演算。
一学子上前作答：“先生，当分三段讨论。若 x 小于等于 -2 ，则 3 - x - x - 2 = 7 ，解得 x = -3 ；若 x 大于 -2 且小于 3 ，则 3 - x + x + 2 ≠ 7 ，无解；若 x 大于等于 3 ，则 x - 3 + x + 2 = 7 ，解得 x = 4 。”
戴浩文曰：“善。再看此题，若 | 2x - 1 | - | x + 3 | = 2 ，求 x 之范围。”
众学子分组探讨，各抒己见。
一组代表起身言曰：“先生，亦当分段讨论。若 x 小于等于 -3 ，则 1 - 2x + x + 3 = 2 ，解得 x = 2 ，不合条件；若 x 大于 -3 且小于 1 \/ 2 ，则 1 - 2x - x - 3 = 2 ，解得 x = -4 \/ 3 ；若 x 大于等于 1 \/ 2 ，则 2x - 1 - x - 3 = 2 ，解得 x = 6 。”
戴浩文点头曰：“不错。此类题需细心思量，莫漏解也。”
又出一题：“若关于 x 之方程 | 3x - 5 | = m 有解，求 m 之取值范围。”
一学子应曰：“先生，因绝对值非负，故 m 大于等于零方程有解。”
戴浩文曰：“然也。再思此题，若关于 x 之不等式 | 2x + 1 | ＞ a 恒成立，求 a 之范围。”
一生答曰：“先生，因 | 2x + 1 | 最小值为零，故 a 小于零不等式恒成立。”
戴浩文笑曰：“妙哉！汝等悟性颇高。”
如此数日，戴浩文以种种实例，令学子们对绝对值之概念与应用愈发精通。
或有一题：“已知 | x - 1 | + | y + 2 | = 0 ，且 2x + 3y + z = 10 ，求 z 之值。”
众学子深思熟虑，终得答案。
戴浩文一一评点，使众人皆有所获。
又有：“若 | x - 2 | + | 2x - 1 | = 5 ，求 x 之值。”
学子们争论不休，各执一词，最终在戴浩文的引导下，得出正解。
光阴似箭，学子们于绝对值之研学中渐入佳境。
一日，戴浩文考校学子，见众人应答如流，心甚慰之。
曰：“汝等学业有成，然不可骄矜，数学之道，广袤无垠，当持之以恒，上下求索。”
众学子躬身行礼，谨遵师训。
自此，学子们怀绝对值之理，续探数学之奥秘。
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